ΣΤ΄ ΤΑΞΗ - ΕΝΟΤΗΤΑ 1 - Κεφάλαιο 14
Πρώτοι και Σύνθετοι αριθμοί
Πρώτος λέγεται οποιοσδήποτε αριθμός που έχει μόνο δύο διαιρέτες: το 1 και τον εαυτό του.
Σύνθετος λέγεται κάθε αριθμός που εκτός από τον εαυτό του και το 1, έχει και άλλους διαιρέτες.
Επειδή το 1 έχει μόνο έναν διαιρέτη (το 1, που είναι και ο εαυτός του), δεν το τοποθετούμε σε καμία απ' αυτές τις ομάδες.
Σύνθετος λέγεται κάθε αριθμός που εκτός από τον εαυτό του και το 1, έχει και άλλους διαιρέτες.
Επειδή το 1 έχει μόνο έναν διαιρέτη (το 1, που είναι και ο εαυτός του), δεν το τοποθετούμε σε καμία απ' αυτές τις ομάδες.
Παραδείγματα:
Το 7 είναι πρώτος αριθμός (οι διαιρέτες του είναι μόνο το 1 και το 7).
Το 4 είναι σύνθετος αριθμός (οι διαιρέτες του είναι: 1, 2, 4).
Το 24 είναι σύνθετος αριθμός (οι διαιρέτες του είναι: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24).
Μπορούμε να βρούμε τους πρώτους αριθμούς με ένα κόσκινο!
Το κόσκινο του Ερατοσθένη
Είναι ένα ειδικό "κόσκινο" που κρατάει όλους τους σύνθετους αριθμούς και αφήνει να περάσουν όλοι οι πρώτοι.
Για να βρούμε τους πρώτους αριθμούς, κάνουμε τα εξής:
α. Αφήνουμε απέξω το 1 (είπαμε: δεν είναι ούτε πρώτος, ούτε σύνθετος).
β. Παίρνουμε τον επόμενο αριθμό (το 2). Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του.
γ. Παίρνουμε τον επόμενο άσβηστο αριθμό (το 3).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα δεν έχουν σβηστεί από πριν, ως πολλαπλάσια του 2)..
δ. Παίρνουμε τον επόμενο άσβηστο αριθμό (το 5).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα δεν είναι σβησμένα από πριν).
ε. Παίρνουμε τον επόμενο άσβηστο αριθμό (το 7).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα δεν είναι σβησμένα από πριν).
Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζουμε για πάντα (αφού οι αριθμοί δεν τελειώνουν ποτέ)!
Αν όμως θέλουμε να βρούμε τους πρώτους αριθμούς μέχρι το 120 (όπως κάνουμε τώρα), δεν χρειάζεται να προχωρήσουμε παραπάνω από το 7, αφού...
...οι αριθμοί που έχουν μείνει, (αυτοί που είναι μέσα στα κυκλάκια) είναι οι πρώτοι αριθμοί.
Οι πρώτοι αριθμοί μέχρι το 1.000.000
Αν καμμιά φορά σας δημιουργηθεί η ανάγκη να βρείτε περισσότερους πρώτους αριθμούς, η παρακάτω εφαρμογή ήρθε να σας βοηθήσει: Πληκτρολογήστε οποιονδήποτε αριθμό από το 1 έως το 1.000.000 και αμέσως θα σας εμφανίσει όλους τους πρώτους αριθμούς που υπάρχουν μέχρι τον αριθμό που γράψατε.
Και τι μας χρειάζονται οι πρώτοι αριθμοί;
Οι πρώτοι αριθμοί είναι τα δομικά στοιχεία όλων των αριθμών. Πιο απλά, είναι αυτοί πάνω στους οποίους "κτίζονται" όλοι οι άλλοι αριθμοί (οι σύνθετοι δηλαδή).
Εξάλλου, πώς νομίζετε πως γίνεται η κρυπτογράφηση διαφόρων ηλεκτρονικών στοιχείων για τα οποία θέλουμε ασφάλεια, όπως οι διαδικτυακές συναλλαγές ή οι διάφοροι ηλεκτρονικοί κωδικοί πρόσβασης (passwords); Με συνδυασμό τεράστιων πρώτων αριθμών!
Για να σας λυθεί η περιέργεια (αν έχετε κιόλας...) ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που έχουν βρει οι άνθρωποι (μέχρι το 2022), με την βοήθεια των υπολογιστών βέβαια, έχει σχεδόν 25 εκατομμύρια ψηφία. Για την ακρίβεια, έχει 24.862.048 ψηφία. Τον βρίσκουμε, αν υψώσουμε το 2 στην δύναμη τού 82.589.933 (αν πολλαπλασιάσουμε δηλ. το 2 επί τον εαυτό του 82.589.933 φορές: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x .........μέχρι να γράψουμε 82.589.933 δυάρια) και από το τελικό αποτέλεσμα, μετά, αφαιρέσουμε το 1.
Πόσο μεγάλος είναι ο αριθμός;
Αν τον γράφαμε όλον σε ένα χαρτί, λοιπόν, το μήκος του χαρτιού θα έφτανε για να καλύψει τον Ισημερινό της Γης 5 φορές!
Εξάλλου, πώς νομίζετε πως γίνεται η κρυπτογράφηση διαφόρων ηλεκτρονικών στοιχείων για τα οποία θέλουμε ασφάλεια, όπως οι διαδικτυακές συναλλαγές ή οι διάφοροι ηλεκτρονικοί κωδικοί πρόσβασης (passwords); Με συνδυασμό τεράστιων πρώτων αριθμών!
Για να σας λυθεί η περιέργεια (αν έχετε κιόλας...) ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που έχουν βρει οι άνθρωποι (μέχρι το 2022), με την βοήθεια των υπολογιστών βέβαια, έχει σχεδόν 25 εκατομμύρια ψηφία. Για την ακρίβεια, έχει 24.862.048 ψηφία. Τον βρίσκουμε, αν υψώσουμε το 2 στην δύναμη τού 82.589.933 (αν πολλαπλασιάσουμε δηλ. το 2 επί τον εαυτό του 82.589.933 φορές: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x .........μέχρι να γράψουμε 82.589.933 δυάρια) και από το τελικό αποτέλεσμα, μετά, αφαιρέσουμε το 1.
Πόσο μεγάλος είναι ο αριθμός;
Αν τον γράφαμε όλον σε ένα χαρτί, λοιπόν, το μήκος του χαρτιού θα έφτανε για να καλύψει τον Ισημερινό της Γης 5 φορές!
(Στο περίπου! Μην μας ζητάτε και τον λόγο αν το κάνετε και βρείτε λίγο διαφορετικό αποτέλεσμα!)
Δοκιμάστε τις γνώσεις σας στους πρώτους αριθμούς
Πατήστε στην σωστή απάντηση:
Επιλέξτε τις σωστές απαντήσεις.
Πατήστε πάνω στις σωστές απαντήσεις.
ΚΛΙΚ στην εικόνα:
Ενεργήστε με το ποντίκι σας και κόψτε στα δύο τους σύνθετους αριθμούς, για να τους χωρίζετε στους παράγοντές τους.ΜΗΝ κόβετε πρώτους αριθμούς. Χάνετε πόντους!