Ε΄ ΤΑΞΗ - ΓΛΩΣΣΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 11
Τετράδιο Εργασιών
"ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ"
σελ. 19: Το σκάκι
Κάποτε, σε μια μακρινή χώρα ζούσε ένας πλούσιος και αλαζόνας μαχαραγιάς.
Όταν ο σύμβουλος του του έμαθε το παιχνίδι "σκάκι", ευχαριστήθηκε τόσο πολύ που προσφέρθηκε να του δώσει για δώρο ό,τι του ζητούσε. Ο σύμβουλος τού ζήτησε μόνο σιτάρι, αλλά με τον εξής τρόπο: Στο πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας θα του έβαζε 1 σποράκι σιτάρι. Στο δεύτερο, το διπλάσιο (2 σποράκια). Στο τρίτο πάλι το διπλάσιο (4 σποράκια). Στο τέταρτο 8 σποράκια, στο πέμπτο 16, στο έκτο 32, και πάει λέγοντας.
Ο μαχαραγιάς ενθουσιάστηκε που θα την έβγαζε καθαρή με κάμποσα κιλά σιτάρι (πόσο πια θα του έδινε; 64 τετράγωνο μόνο έχει η σκακιέρα!
Τελικά, όμως, ο αλαζόνας μαχαραγιάς κατάφερε να γίνει ρεζίλι, αφού και όλο το σιτάρι της Γης να του έδινε, πάλι δεν θα έφτανε την ποσότητα που έπρεπε να του δώσει!
Με αφορμή την ιστορία (διαβάστε την ολόκληρη στο τετρ. εργασιών β΄, σελ. 19) με τον αλαζόνα μαχαραγιά, ας δούμε πόσο πραγματικά τεράστια είναι η ποσότητα του σιταριού που ζήτησε ο έξυπνος σύμβουλός του:
Στο πρώτο τετράγωνο βάζουμε 1 σποράκι σιτάρι. Ούτε που φαίνεται!
Στο δεύτερο τετράγωνο: 2 σποράκια σιτάρι. Ασήμαντη ποσότητα...
Στο τρίτο τετράγωνο: 4 σποράκια σιτάρι. Τίποτα...
Στο τέταρτο τετράγωνο: 8 σποράκια σιτάρι. Ελάχιστο! Ούτε ένα πουλάκι δεν χορταίνει...
Στο πέμπτο τετράγωνο: 16 σποράκια σιτάρι. Σιγά την ποσότητα...
Στο έκτο τετράγωνο: 32 σποράκια σιτάρι. Ψιλοπράγματα...
Στο έβδομο τετράγωνο: 64 σποράκια σιτάρι. Πολύ λίγο.
Στο όγδοο τετράγωνο: 128 σποράκια σιτάρι. Ένα πουλάκι θα χορτάσει! Μέχρι εκεί!
Άμα προσθέσουμε το σιτάρι όλης της πρώτης σειράς, παίρνουμε 255 σποράκια σιτάρι.
Όταν ο σύμβουλος του του έμαθε το παιχνίδι "σκάκι", ευχαριστήθηκε τόσο πολύ που προσφέρθηκε να του δώσει για δώρο ό,τι του ζητούσε. Ο σύμβουλος τού ζήτησε μόνο σιτάρι, αλλά με τον εξής τρόπο: Στο πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας θα του έβαζε 1 σποράκι σιτάρι. Στο δεύτερο, το διπλάσιο (2 σποράκια). Στο τρίτο πάλι το διπλάσιο (4 σποράκια). Στο τέταρτο 8 σποράκια, στο πέμπτο 16, στο έκτο 32, και πάει λέγοντας.
Ο μαχαραγιάς ενθουσιάστηκε που θα την έβγαζε καθαρή με κάμποσα κιλά σιτάρι (πόσο πια θα του έδινε; 64 τετράγωνο μόνο έχει η σκακιέρα!
Τελικά, όμως, ο αλαζόνας μαχαραγιάς κατάφερε να γίνει ρεζίλι, αφού και όλο το σιτάρι της Γης να του έδινε, πάλι δεν θα έφτανε την ποσότητα που έπρεπε να του δώσει!
Με αφορμή την ιστορία (διαβάστε την ολόκληρη στο τετρ. εργασιών β΄, σελ. 19) με τον αλαζόνα μαχαραγιά, ας δούμε πόσο πραγματικά τεράστια είναι η ποσότητα του σιταριού που ζήτησε ο έξυπνος σύμβουλός του:
Στο πρώτο τετράγωνο βάζουμε 1 σποράκι σιτάρι. Ούτε που φαίνεται!
Στο δεύτερο τετράγωνο: 2 σποράκια σιτάρι. Ασήμαντη ποσότητα...
Στο τρίτο τετράγωνο: 4 σποράκια σιτάρι. Τίποτα...
Στο τέταρτο τετράγωνο: 8 σποράκια σιτάρι. Ελάχιστο! Ούτε ένα πουλάκι δεν χορταίνει...
Στο πέμπτο τετράγωνο: 16 σποράκια σιτάρι. Σιγά την ποσότητα...
Στο έκτο τετράγωνο: 32 σποράκια σιτάρι. Ψιλοπράγματα...
Στο έβδομο τετράγωνο: 64 σποράκια σιτάρι. Πολύ λίγο.
Στο όγδοο τετράγωνο: 128 σποράκια σιτάρι. Ένα πουλάκι θα χορτάσει! Μέχρι εκεί!
Άμα προσθέσουμε το σιτάρι όλης της πρώτης σειράς, παίρνουμε 255 σποράκια σιτάρι.
Μικρή ποσότητα. Πολύ μικρή! Πόσο σιτάρι ακόμα θα πάει μέχρι το 64ο τετράγωνο; Μερικά κιλά;
Αυτό θα είχε στον νου του και ο μαχαραγιάς, και θα σκέφτηκε...
Αυτό θα είχε στον νου του και ο μαχαραγιάς, και θα σκέφτηκε...
Ανεβαίνοντας όμως προς τα πάνω, καθώς διπλασιάζουμε σε κάθε τετράγωνο την ποσότητα, τα σποράκια αρχίζουν να πληθαίνουν με υπερβολικά γρήγορους ρυθμούς.
2η σειρά
Στο 1° τετράγωνο θα βάλουμε: 256 (128 x 2)
Στο 2° τετράγωνο θα βάλουμε: 512 (510 x 2)
Στο 3° τετράγωνο θα βάλουμε: 1.024 (1.020 x 2)
Στο 4° τετράγωνο θα βάλουμε: 2.048 (2.040 x 2)
Στο 5° τετράγωνο θα βάλουμε: 4.096 (4.080 x 2)
Στο 6° τετράγωνο θα βάλουμε: 8.192 (8.160 x 2)
Στο 7° τετράγωνο θα βάλουμε: 16.384 (16.320 x 2)
Στο 8° τετράγωνο θα βάλουμε: 32.768 (32.640 x 2)
Στο τελευταίο δηλαδή τετράγωνο της δεύτερης σειράς μόλις, τα σποράκια έχουν φτάσει τα 32.768!
Όταν τα υπολογίσουμε όλα μαζί, αθροιστικά από την αρχή, μέχρι το τέλος της δεύτερης σειράς έχουν μαζευτεί 65.535 σποράκια (πολύ περισσότερα απ' όσο μας φαίνεται στην αρχή, αλλά όχι και υπερβολικά πολλά, εδώ που τα λέμε).
Ανεβαίνοντας όμως προς τα πάνω, καθώς διπλασιάζουμε σε κάθε τετράγωνο την ποσότητα, τα σποράκια αρχίζουν να πληθαίνουν με υπερβολικά γρήγορους ρυθμούς.
2η σειρά
Στο 1° τετράγωνο θα βάλουμε: 256 (128 x 2)
Στο 2° τετράγωνο θα βάλουμε: 512 (510 x 2)
Στο 3° τετράγωνο θα βάλουμε: 1.024 (1.020 x 2)
Στο 4° τετράγωνο θα βάλουμε: 2.048 (2.040 x 2)
Στο 5° τετράγωνο θα βάλουμε: 4.096 (4.080 x 2)
Στο 6° τετράγωνο θα βάλουμε: 8.192 (8.160 x 2)
Στο 7° τετράγωνο θα βάλουμε: 16.384 (16.320 x 2)
Στο 8° τετράγωνο θα βάλουμε: 32.768 (32.640 x 2)
Στο τελευταίο δηλαδή τετράγωνο της δεύτερης σειράς μόλις, τα σποράκια έχουν φτάσει τα 32.768!
Όταν τα υπολογίσουμε όλα μαζί, αθροιστικά από την αρχή, μέχρι το τέλος της δεύτερης σειράς έχουν μαζευτεί 65.535 σποράκια (πολύ περισσότερα απ' όσο μας φαίνεται στην αρχή, αλλά όχι και υπερβολικά πολλά, εδώ που τα λέμε).
Μέχρι το τέλος της τρίτης σειράς, το άθροισμα του αριθμού των σπόρων έχει ξεφύγει και έχει ανέβει πάνω από τα 16,5 εκατομμύρια (16.777.215)!
Συνεχίζοντας τον διπλασιασμό, οι σπόροι αρχίζουν να αγγίζουν ασύλληπτες ποσότητες.
Στο τέλος της τέταρτης σειράς, συνολικά έχουν φτάσει τους 4.294.967.295 (4,3 δισεκατομμύρια)!
Συνεχίζουμε το μέτρημα...
Στο τέλος της πέμπτης σειράς, θα έχουμε μετρήσει συνολικά 1.099.511.627.775 σποράκια σιτάρι! (1,1 τρισεκατομμύριο σπόρους!)
Στο τέλος της όγδοης σειράς (στο τελευταίο τετράγωνο) ο συνολικός αριθμός των σπόρων έχει φτάσει σε πραγματικά ασύλληπτο μέγεθος:
18.446.744.073.709.599.999 (18,5 πεντάκις εκατομμύρια)!!!
Τόσο σιτάρι ζήτησε ο σύμβουλος, που ήταν έξυπνος (μάλλον που ήξερε μαθηματικά)!
Για να καταλάβουμε για πόσο τεράστια αποθήκη μιλάμε, ας δούμε μερικές εικόνες.
Αν τα βάλουμε δίπλα δίπλα για να τα συγκρίνουμε, η πολυκατοικία (κάτω δεξιά του ουρανοξύστη) φαίνεται κάπως έτσι:
(Αν μας φαίνεται ψηλή μια πολυκατοικία, σκεφτείτε πόσο ψηλό είναι ένα κτήριο 828 μέτρα!)
Αν βάλουμε, λοιπόν, τον πανύψηλο ουρανοξύστη δίπλα στην αποθήκη που είπαμε πριν, με τα 1000 χιλιόμετρα πλευρά, αυτός θα φαίνεται κάπως έτσι (κάτω αριστερά από την αποθήκη):
Αν βάλουμε, λοιπόν, τον πανύψηλο ουρανοξύστη δίπλα στην αποθήκη που είπαμε πριν, με τα 1000 χιλιόμετρα πλευρά, αυτός θα φαίνεται κάπως έτσι (κάτω αριστερά από την αποθήκη):
Τι; Δεν βλέπετε τον ουρανοξύστη;
Για προσέξτε καλύτερα την κουκκίδα κάτω αριστερά...
Αυτή η κουκκίδα!!!
Αν δούμε από ψηλά την βάση της αποθήκης, θα είναι ένα τεράστιο τετράγωνο με πλευρά όσο περίπου η απόσταση Αθήνα - Ρώμη (σε ευθεία γραμμή).
Αν δούμε από ψηλά την βάση της αποθήκης, θα είναι ένα τεράστιο τετράγωνο με πλευρά όσο περίπου η απόσταση Αθήνα - Ρώμη (σε ευθεία γραμμή).
Κι αν δούμε την αποθήκη σε σχέση με την Γη, το μέγεθός της θα είναι περίπου τόσο:
Ο Διαστημικός Σταθμός, ας πούμε, πετάει σε πολύ χαμηλότερο ύψος απ' όσο θα ήταν το ύψος της αποθήκης: στα 400 χμ. περίπου!
Ας κάνουμε μια γρήγορη ανακεφαλαίωση,
για να καταλάβουμε την εξυπνάδα του συμβούλου τού μαχαραγιά που ζήτησε σιτάρι μ' αυτόν τον πονηρό τρόπο!
Στο τέλος της πρώτης σειράς θα έπαιρνε 255 σποράκια σιτάρι.
1 μικρό κουτάκι.
1 μικρό κουτάκι.
Στο τέλος της δεύτερης σειράς: 65.535 σποράκια σιτάρι.
6,5 σακουλάκια σιτάρι του ενός κιλού.
Στο τέλος της τρίτης σειράς: 16.777.215 σποράκια σιτάρι (~ 16,7 εκατομμύρια).
1 κυβικό μέτρο, και κάτι παραπάνω.
Στο τέλος της τέταρτης σειράς: 4.294.967.295 σποράκια σιτάρι (~ 4,3 δισεκατομμύρια).
3 νταλίκες και 4 φορτηγάκια.
Στο τέλος της πέμπτης σειράς: 1.099.511.627.775 σποράκια σιτάρι (1,1 τρισεκατομμύριο).
Μια αποθήκη όσο ένα μεγάλο γήπεδο ποδοσφαίρου, και 6 μέτρα ψηλή.
Στο τέλος της έκτης σειράς:
140.737.488.355.327 σποράκια σιτάρι (~ 140,7 τρισεκατομμύρια).
(Δεν έχουμε εικόνα...)
Στο τέλος της έβδομης σειράς:
36.028.797.018.963.999 σποράκια σιτάρι (~ 36 τετράκις εκατομμύρια).
(Δεν έχουμε εικόνα...)
Στο τέλος της όγδοης σειράς (στο τελευταίο τετράγωνο): 18.446.744.073.709.599.999 σποράκια σιτάρι (~ 18,5 πεντάκις εκατομμύρια).
Μία εξωφρενικά γιγαντιαία αποθήκη με μήκος κάθε πλευράς 1000 χιλιόμετρα.
Αυτή η ακολουθία των αριθμών
(όπου κάθε επόμενος είναι διπλάσιος από τον προηγούμενο)
λέγεται...